CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
¿Tienes dudas sobre la divisibilidad de los números naturales y no encuentras explicaciones claras? ¡No te preocupes!
En esta guía te voy a explicar lo que necesitas saber este tema, con ejemplos resueltos paso a paso. Además, te tendrás recursos interactivos para que aprendas de manera visual y entretenida.
Contenidos que vas a ver
Introducción a la Divisibilidad
La divisibilidad es la propiedad que permite determinar si un número entero puede dividirse por otro para que nos dé una división exacta. Conocer los criterios de divisibilidad te facilita este proceso sin realizar divisiones.
Dicho de otra manera, un número a es divisible por b si existe un número c tal que a = b x c .
Durante mis más de 30 años como profesor de matemáticas en ESO, Bachillerato y universidad, siempre he observado que los estudiantes suelen comprender mejor este concepto cuando lo ven aplicado en problemas cotidianos.
Un ejemplo que utilizo con frecuencia es el reparto de objetos, como frutas o dinero, en partes iguales: si puedes dividir 12 manzanas entre 3 personas y cada una recibe exactamente 4, entonces el número 12 es divisible por 3.
Criterios de divisibilidad más importantes. Reglas Clave de Divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten determinar rápidamente si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar divisiones largas. Estos criterios, aplicables a números como el 2, 3, 5, 7, 9, entre otros, son esenciales para los estudiantes en sus primeras etapas de aprendizaje.
En clases de ESO, este tipo de trucos es recibido con entusiasmo, ya que les permite verificar divisiones sin necesidad de calculadora.
Recuerdo que muchos alumnos que inicialmente tenían dificultades en aritmética, encontraron en los criterios de divisibilidad un atajo que les facilitó el entendimiento de divisiones y múltiplos, especialmente en exámenes o tareas con tiempo limitado.
Criterios de Divisibilidad del 2
Un número es divisible por 2 si su última cifra es un número par o 0. (0, 2, 4, 6, 8).
Ejemplo: El número 48 termina en 8, por lo tanto, es divisible por 2.
Criterios de Divisibilidad del 3
Suma todas las cifras del número, si el resultado es múltiplo de 3, el número es divisible.
Ejemplo: En el número 123, sumamos 1 + 2 + 3 = 6, y como 6 es múltiplo de 3, es divisible.
Criterios de Divisibilidad del 4
El criterio de divisibilidad del 4 dice que un número es divisible por 4 si los dos últimos dígitos del número son divisibles por 4.
Ejemplo:
Consideremos el número 324. Solo revisamos los dos últimos dígitos, que son 24. Como 24 es divisible por 4, entonces 324 también lo es.
En cambio, si tomamos el número 327, los dos últimos dígitos son 27, que no es divisible por 4, por lo tanto 327 no es divisible por 4.
Criterios de Divisibilidad del 5
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5.
Ejemplo: El número 205 termina en 5, por lo tanto, es divisible por 5.
Criterio de divisibilidad del 6
El criterio de divisibilidad del 6 indica que un número es divisible por 6 si cumple dos condiciones:
- Es divisible por 2: El número debe ser par, es decir, terminar en 0, 2, 4, 6 o 8.
- Es divisible por 3: La suma de sus dígitos debe ser divisible por 3.
Ejemplo:
Verifiquemos si el número 84 es divisible por 6:
- Divisible por 2: El número termina en 4, que es par, así que es divisible por 2.
- Divisible por 3: La suma de sus dígitos es 8 + 4 = 12, y 12 es divisible por 3.
Como cumple ambos criterios, 84 es divisible por 6.
Criterio de divisibilidad del 7
El criterio de divisibilidad del 7 consiste en tomar el último dígito de un número, duplicarlo y restarlo del resto del número. Si el resultado es divisible entre 7, entonces el número original también lo es.
Ejemplo:
Verifiquemos si 203 es divisible por 7.
- Tomamos el último dígito (3), lo duplicamos: 3 × 2 = 6.
- Restamos 6 del número que queda (20): 20 – 6 = 14.
- Como 14 es divisible por 7, entonces 203 también es divisible por 7.
criterio de divisibilidad del 8
El criterio de divisibilidad del 8 dice que un número es divisible por 8 si sus tres últimos dígitos forman un número divisible por 8.
Ejemplo:
Tomemos el número 12536.
- Los tres últimos dígitos son 536.
- Verificamos si 536 ÷ 8 es exacto. Como el resultado es 67, es divisible por 8.
Por lo tanto, 12,536 es divisible por 8.
Criterio de divisibilidad del 9
El criterio de divisibilidad del 9 establece que un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.
Ejemplo:
Consideremos el número 729:
- Sumamos los dígitos: 7 + 2 + 9 = 18.
- El 18 es un múltiplo de 9, por lo tanto, 729 es divisible por 9.
Criterio de divisibilidad del 10
El criterio de divisibilidad por 10 es sencillo: un número es divisible por 10 si termina en 0.
Ejemplo:
El número 230 termina en 0, por lo que es divisible por 10.
El número 237 no termina en 0, por lo que no es divisible por 10.
Criterio de divisibilidad del 11
El criterio de divisibilidad del 11 establece que un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras en las posiciones impares y la suma de las cifras en las posiciones pares es un múltiplo de 11 (incluyendo el 0).
Ejemplo:
Tomemos el número 385.
- Las cifras en las posiciones impares son 3 y 5 (comenzando desde la derecha: 5, 8, 3). Sumamos:
(3 + 5 = 8). - La cifra en la posición par es 8. Entonces:
(8). - Restamos la suma de las posiciones impares menos la suma de las posiciones pares:
(8 – 8 = 0). - Como 0 es un múltiplo de 11, el número 385 es divisible por 11.
Este es el criterio aplicado de manera sencilla.
Criterio de divisibilidad del 12
El criterio de divisibilidad del 12 se basa en que un número debe ser divisible tanto por 3 como por 4. Para verificar esto:
- Divisibilidad por 3: La suma de los dígitos del número debe ser divisible por 3.
- Divisibilidad por 4: Los dos últimos dígitos del número deben ser divisibles por 4.
Ejemplo:
Verifiquemos si 144 es divisible por 12:
- Divisibilidad por 3: Suma de los dígitos = 1 + 4 + 4 = 9, que es divisible por 3.
- Divisibilidad por 4: Los dos últimos dígitos son 44, y 44 es divisible por 4.
Como cumple ambos criterios, 144 es divisible por 12.
Criterio de divisibilidad del 13
El criterio de divisibilidad del 13 no es tan conocido como otros (como el del 3 o el 5), pero se puede aplicar un método útil.
Criterio:
- Toma el último dígito del número.
- Dóblalo (multiplícalo por 9).
- Resta ese valor del número restante (el número sin el último dígito).
- Si el resultado es divisible por 13, el número original también lo es.
Ejemplo:
Consideremos el número 858:
- Toma el último dígito: 8.
- Dóblalo: 8 x 9 = 72.
- Resta del número restante (85): 85 – 72 = 13.
- Como 13 es divisible por 13, entonces 858 también lo es.
Este método puede repetirse si el número resultante sigue siendo grande.
Criterio de divisibilidad del 15
Para que un número sea divisible por 15, debe ser divisible tanto por 3 como por 5.
Ejemplo: El número 45.
- Para divisibilidad por 3: La suma de sus dígitos es 4 + 5 = 9, y 9 es divisible por 3.
- Para divisibilidad por 5: El último dígito es 5, lo cual cumple con la regla de divisibilidad por 5.
Por lo tanto, 45 es divisible por 15.
Criterio de divisibilidad del 25
Un número es divisible entre 25 si sus dos últimos dígitos son 00, 25, 50 o 75.
Ejemplo: El número 1,250 es divisible entre 25 porque sus dos últimos dígitos son 50.
Tabla de Criterios de Divisibilidad
Aquí tienes una tabla resumen que te permitirá recordar los criterios clave:
| Número | Criterio de Divisibilidad | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | Un número es divisible por 2 si su última cifra es un número par o 0. | 48 termina en 8, divisible por 2. |
| 3 | Suma todas las cifras del número, si el resultado es múltiplo de 3, el número es divisible. | 123: 1 + 2 + 3 = 6, divisible por 3. |
| 4 | El número es divisible por 4 si los dos últimos dígitos son divisibles por 4. | 324: 24 es divisible por 4. |
| 5 | Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5. | 205 termina en 5, divisible por 5. |
| 6 | Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. | 84 termina en 4 (par), 8 + 4 = 12 (divisible por 3), divisible por 6. |
| 7 | Duplica el último dígito, réstalo del resto del número. Si el resultado es divisible por 7, entonces el número original también lo es. | 203: último dígito 3 × 2 = 6, 20 – 6 = 14, divisible por 7. |
| 8 | El número es divisible por 8 si los tres últimos dígitos son divisibles por 8. | 12536: 536 ÷ 8 = 67, divisible por 8. |
| 9 | Suma los dígitos del número, si el resultado es múltiplo de 9, es divisible por 9. | 729: 7 + 2 + 9 = 18, divisible por 9. |
| 10 | Un número es divisible por 10 si termina en 0. | 230 termina en 0, divisible por 10. |
| 11 | La diferencia entre la suma de las posiciones impares y las posiciones pares es múltiplo de 11. | 385: (3 + 5) – 8 = 0, divisible por 11. |
| 12 | El número debe ser divisible por 3 y por 4. | 144: suma = 9 (divisible por 3), últimos dos dígitos 44 (divisible por 4). |
| 13 | Resta el doble del último dígito del número restante. Si el resultado es divisible por 13, el número original también lo es. | 858: 85 – 72 = 13, divisible por 13. |
| 15 | El número es divisible por 15 si es divisible por 3 y por 5. | 45: 4 + 5 = 9 (divisible por 3), termina en 5, divisible por 15. |
| 25 | El número es divisible por 25 si sus dos últimos dígitos son 00, 25, 50 o 75. | 1250: últimos dos dígitos 50, divisible por 25. |
DESCARGA LA TABLA PARA PODER COPIARLA BIEN Y QUE TE AYUDE A COMPRENDER LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS NATURALES
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Ejercicios de criterios de divisibilidad
He preparado una serie de ejemplos prácticos resueltos sobre la divisibilidad de números naturales. Estos ejemplos están diseñados para que puedas ver cómo aplicar lo que aprendes.
A CONTINUACIÓN TENDRÁS UN LISTADO DE EJERCICIOS Y DE PROBLEMAS. CLICA EN CADA BOTÓN.
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 246 por 2? | Sí, porque termina en 6, que es par. |
| ¿Es divisible 781 por 2? | No, porque termina en 1, que no es par. |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 123 por 3? | Sí, porque la suma de sus cifras (1 + 2 + 3 = 6) es divisible entre 3. |
| ¿Es divisible 367 por 3? | No, porque la suma de sus cifras (3 + 6 + 7 = 16) no es divisible entre 3. |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 520 por 4? | Sí, porque los dos últimos dígitos (20) son divisibles por 4. |
| ¿Es divisible 742 por 4? | No, porque los dos últimos dígitos (42) no son divisibles por 4. |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 245 por 5? | Sí, porque termina en 5. |
| ¿Es divisible 638 por 5? | No, porque termina en 8. |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 144 por 6? | Sí, porque es divisible tanto por 2 (es par) como por 3 (la suma de sus cifras es divisible por 3). |
| ¿Es divisible 153 por 6? | No, porque es divisible por 3, pero no por 2 (no es par). |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 287 por 7? | Sí, al aplicar el criterio: duplicamos el último dígito (7*2=14), lo restamos al resto del número (28-14=14), y 14 es divisible entre 7. |
| ¿Es divisible 334 por 7? | No, al aplicar el criterio: duplicamos el último dígito (4*2=8), restamos al resto del número (33-8=25), y 25 no es divisible entre 7. |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 512 por 8? | Sí, porque los tres últimos dígitos (512) son divisibles entre 8. |
| ¿Es divisible 234 por 8? | No, porque los tres últimos dígitos (234) no son divisibles entre 8. |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 234 por 9? | No, porque la suma de sus cifras (2 + 3 + 4 = 9) no es múltiplo de 9. |
| ¿Es divisible 729 por 9? | Sí, porque la suma de sus cifras (7 + 2 + 9 = 18) es divisible entre 9. |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 1230 por 10? | Sí, porque termina en 0. |
| ¿Es divisible 432 por 10? | No, porque no termina en 0. |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 121 por 11? | Sí, porque al aplicar el criterio: (1 – 2 + 1 = 0), y 0 es divisible entre 11. |
| ¿Es divisible 374 por 11? | No, porque al aplicar el criterio: (3 – 7 + 4 = 0), el resultado no es divisible entre 11. |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 144 por 12? | Sí, porque es divisible tanto entre 3 como entre 4. |
| ¿Es divisible 234 por 12? | No, porque es divisible entre 3, pero no entre 4. |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 182 por 13? | Sí, porque 182 / 13 = 14 (exacto). |
| ¿Es divisible 377 por 13? | No, porque 377 / 13 = 29 (con decimales). |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 180 por 15? | Sí, porque es divisible entre 3 y entre 5. |
| ¿Es divisible 250 por 15? | No, porque es divisible entre 5 pero no entre 3. |
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| ¿Es divisible 500 por 25? | Sí, porque termina en 00. |
| ¿Es divisible 245 por 25? | No, porque no termina en 00 ni en 25. |
Enunciado: Determina si el número 124 es divisible por 2, 3 y 5.
Solución:
Para el número 124:
- Divisible por 2: Un número es divisible por 2 si termina en cifra par. 124 termina en 4, por lo tanto, es divisible por 2.
- Divisible por 3: Sumamos sus dígitos: 1 + 2 + 4 = 7. Como 7 no es divisible por 3, 124 no es divisible por 3.
- Divisible por 5: Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5. Como 124 termina en 4, no es divisible por 5.
Enunciado: Verifica si el número 945 es divisible por 3, 5 y 9.
Solución:
Para el número 945:
- Divisible por 3: Sumamos sus dígitos: 9 + 4 + 5 = 18. Como 18 es divisible por 3, 945 es divisible por 3.
- Divisible por 5: Termina en 5, por lo tanto, 945 es divisible por 5.
- Divisible por 9: Sumamos sus dígitos: 9 + 4 + 5 = 18. Como 18 es divisible por 9, 945 es divisible por 9.
Enunciado: ¿El número 672 es divisible por 4, 6 y 8?
Solución:
Para el número 672:
- Divisible por 4: Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras (72) son divisibles por 4. Como 72 ÷ 4 = 18, 672 es divisible por 4.
- Divisible por 6: El número debe ser divisible por 2 y por 3. Como es divisible por 2 (termina en 2) y su suma de dígitos 6 + 7 + 2 = 15 es divisible por 3, 672 es divisible por 6.
- Divisible por 8: Tomamos las tres últimas cifras: 672. Como 672 ÷ 8 = 84, el número es divisible por 8.
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Enunciado: Un viajero va a una ciudad cada 8 días y otro cada 12 días. Hoy se encuentran. ¿Cuántos días tardarán en coincidir de nuevo?
Solución: Debemos calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m) entre 8 y 12.
Factorizamos ambos números:
8 = 2³
12 = 2² × 3
m.c.m = 2³ × 3 = 24. Coincidirán en 24 días.
Enunciado: Calcula si el número 1260 es divisible por 2, 3, 5 y 9.
Solución:
- Divisible por 2: Termina en 0, por lo tanto es divisible.
- Divisible por 3: Suma de sus dígitos: 1 + 2 + 6 + 0 = 9, divisible por 3.
- Divisible por 5: Termina en 0, es divisible.
- Divisible por 9: Suma de dígitos es 9, divisible por 9.
Enunciado: Un reloj suena cada 30 minutos y otro cada 45 minutos. Si suenan juntos a las 9:00 am, ¿a qué hora volverán a coincidir?
Solución: Calculamos el m.c.m. entre 30 y 45.
30 = 2 × 3 × 5
45 = 3² × 5
m.c.m = 2 × 3² × 5 = 90 minutos. Coincidirán a las 10:30 am.
Enunciado: ¿Cuántas páginas tiene un libro que tiene entre 200 y 250 páginas si al contarlas de 2 en 2, de 5 en 5 y de 10 en 10 no sobra ninguna?
Solución: Calculamos el m.c.m. de 2, 5 y 10, que es 10. El múltiplo de 10 entre 200 y 250 es 210. El libro tiene 210 páginas.
Enunciado: Tenemos 120 caramelos, 180 chocolates y 240 galletas. Queremos repartirlos en paquetes iguales. ¿Cuál es la cantidad máxima de paquetes que podemos hacer sin que sobren productos?
Solución: Calculamos el máximo común divisor (M.C.D) de 120, 180 y 240.
M.C.D = 60. Podemos hacer 60 paquetes con 2 caramelos, 3 chocolates y 4 galletas cada uno.
Enunciado: Un faro se enciende cada 25 segundos y otro cada 30 segundos. ¿Cuántas veces coinciden en 5 minutos?
Solución: Calculamos el m.c.m de 25 y 30, que es 150 segundos (2 minutos y 30 segundos). En 5 minutos coinciden 2 veces.
Enunciado: ¿El número 840 es divisible por 4, 6 y 8?
Solución:
- Por 4: Sus últimas dos cifras son 40, divisible por 4.
- Por 6: Es divisible por 2 y 3 (suma de sus dígitos es 12).
- Por 8: Las tres últimas cifras son 840, divisible por 8.
Enunciado: ¿Cuántas soluciones tiene el número 36 para dividirlo en partes iguales sin que sobre?
Solución: Los divisores de 36 son {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}, por lo tanto hay 9 soluciones.
Enunciado: Si 150 y 200 son divididos en su máximo número de partes iguales, ¿cuántas partes habrá?
Solución: Calculamos el M.C.D de 150 y 200, que es 50. Se podrán dividir en 50 partes.
Enunciado: ¿Cuántas cajas iguales podemos usar para repartir 180 pelotas sin que sobre ninguna?
Solución: Los divisores de 180 son {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 30, 36, 45, 60, 90, 180}. Hay 16 formas posibles de repartirlas.
Reglas de divisibilidad con calculadora
Errores Comunes sobre la Divisibilidad
En mis más de 30 años de experiencia como profesor, he observado que muchos estudiantes confunden la divisibilidad de un número impar.
Recuerda, no todos los números impares son indivisibles por otros números. ¡Mantén las reglas claras en mente para evitar estos errores!
Muchos piensan que, si la división entre dos números deja un residuo pequeño, el número aún puede considerarse "casi divisible".
Aplicar los criterios de divisibilidad de manera incorrecta o sin entender el razonamiento detrás de ellos. Es por esto que en mis clases no solo enseño las reglas, sino que también insisto en que los estudiantes comprendan por qué funcionan.
Preguntas Frecuentes (FAQs)
Aquí encontrarás algunas preguntas comunes que responden a las dudas frecuentes sobre los criterios de divisibilidad:
¿Cómo sé si un número es divisible por 7?
Para comprobar la divisibilidad por 7, puedes restar el doble de la última cifra del número principal y verificar si el resultado es múltiplo de 7.
¿Qué pasa si un número es divisible por varios números a la vez?
En esos casos, el número es múltiplo común de esos divisores. Por ejemplo, 60 es divisible tanto por 2, 3 y 5.
¿Puedo usar una regla de divisibilidad con cualquier número?
Las reglas de divisibilidad aplican principalmente a números enteros positivos. Con decimales o fracciones, estas reglas no son válidas.
¿Qué criterio de divisibilidad es más difícil de aplicar?
El criterio de divisibilidad por 7 es de los más complicados, ya que requiere una operación adicional, a diferencia de criterios como el de 5 o 2.
¿Los números primos tienen criterios de divisibilidad?
Los números primos no tienen más divisores que 1 y ellos mismos, por lo que sus reglas de divisibilidad no se aplican como en otros números.
Conclusión
La divisibilidad es una herramienta esencial en las matemáticas, desde las clases de ESO hasta la universidad. Gracias a los criterios de divisibilidad, puedes ahorrar tiempo al identificar divisores sin necesidad de realizar divisiones largas. Si alguna de las reglas te ha resultado compleja, revisa los ejemplos y ejercicios que hemos incluido para afianzar tu conocimiento.
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